1 . 如图，已知椭圆经过点，离心率为，圆以椭圆的短轴为直径．过椭圆的右顶点作两条互相垂直的直线，且直线交椭圆于另一点，直线交圆于两点．

(1)求椭圆和圆的标准方程；
(2)当的面积最大时，求直线的方程．

2 . 已知为椭圆C的左、右焦点，点为其上一点，且．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问△PQR的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

3 . 设椭圆过点，离心率为．
(1)求的方程；
(2)求过点且斜率为的直线被所截得线段的中点的横坐标．

4 . 已知椭圆的左､右顶点分别为，椭圆的长半轴的长等于它的焦距，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点（不同于），直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：轴.

5 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.

6 . 已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.

7 . 已知椭圆经过点，且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.

8 . 已知椭圆过点，椭圆的左、右顶点分别为，点P坐标为，成等差数列．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若对斜率存在的任意直线l与椭圆恒有M，N两个交点，且．证明：直线l过定点．

9 . 已知椭圆，为其左焦点，在椭圆 上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，且，问△OAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆经过点和点．
(1)求椭圆的标准方程和离心率；
(2)若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．