1 . 在直角坐标系xOy中，动点Q到直线的距离与到点的距离之比为2，动点Q的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)P是直线l上一点，过点P作曲线C的两条切线PA、PB，切点为A、B，求tan∠APB的最大值．

2 . 已知椭圆：过点，且有两个顶点所在直线的斜率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴交于点．
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)设过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，求证：为定值．

3 . 已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．

4 . 已知是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与直线相交于两点．当点为椭圆的上顶点时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，且，求实数的取值范围．

5 . 已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过与椭圆分别交于点E，F，若，求直线EF的方程；
(3)对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

6 . 直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.

7 . 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．

8 . 如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为．

(1)过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若，求的值；
(2)过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．

9 . 在平面直角坐标系中，，，P为曲线E上一点，直线MP，NP的斜率之积为.
(1)求曲线E的标准方程；
(2)过点作直线l交曲线E于A，B两点，且点A位于x轴的上方，记直线MB，NA的斜率分别为，.
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）过点B作BC垂直x轴交曲线E于不同于点A的点C，直线AC与x轴交于点D，求△ADF面积的最大值.

10 . 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年—公元前325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽､系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点为，，若由发出的光线经椭圆两次反射后回到经过的路程为.对于椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为，在上的射影为，其中.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，过作斜率为的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方）.点，是椭圆上异于，的两点，，分别平分和，若外接圆的面积为，求直线的方程.