1 . 舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．

   

2 . 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：.

3 . 如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是______.

4 . 用圆规画一个圆，然后在圆内标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出与折痕的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，．进行折叠并得到标记点，，．设圆的半径为4，点到圆心的距离为2，所有的点，，，形成的轨迹记为曲线．

(1)以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的标准方程；
(2)设直线与曲线交于，两点，且以直径的圆经过曲线的中心，求实数的值．

5 . 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.

(1)求椭圆的标准方程;
(2)记的面积为S，求S的最大值.

6 . 已知椭圆的离心率为，上的点P与外的点距离的最小值为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l与椭圆交于点A，B，当直线l被圆截得的弦长为2b时，求面积的取值范围．

7 . 如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

8 . 已知椭圆过点，短轴一个端点到右焦点的距离为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点A、B，若坐标原点在以线段为直径的圆外，求直线的斜率的取值范围．

9 . 已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线，分别交直线于点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点．求证：．

10 . 已知椭圆的离心率为，是C的上、下顶点，且．过点的直线l交C于B，D两点（异于），直线与交于点Q．
(1)求C的方程；
(2)证明，点Q的纵坐标为定值．