1 . 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值.

2 . 已知，为双曲线C：的左、右焦点，，过斜率存在的直线交C的右支于A，B两点，且．

(1)求C的方程；
(2)点A关于x轴对称点为D，直线BD交x轴于点E，记，的面积分别为，．求的值．

3 . 双曲线左右焦点分别为，若双曲线C经过点且一条渐近线方程为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过作倾斜角为的直线交双曲线于两点，求的面积（为坐标原点）．

4 . 已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长.

5 . 已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．

6 . 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
(1)求双曲线C的方程．
(2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．

7 . 在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q.
(1)求双曲线C的方程；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)求M点的坐标，使得的面积最小.

8 . 已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.

9 . 已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3．
(1)求的方程；
(2)经过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程．

10 . 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.