1 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为坐标原点，斜率存在的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线与直线的斜率之积．

2 . 已知O为坐标原点，直线与双曲线相交且只有一个交点，与椭圆交于M，N两点，则面积的最大值为（       ）

A．10

B．12

C．14

D．16

3 . 已知椭圆的右焦点为，且椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆左焦点的直线与椭圆交于A，B两点，直线，过点作直线的垂线，与直线交于点，求的最小值和此时直线的方程．

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且．若，则椭圆的离心率的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，求的最大值．

6 . 我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为．
(1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；
(2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；
(3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为求证：的垂心必在椭圆上．

7 . 已知椭圆的方程椭圆左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，.
(1)求的面积；
(2)在椭圆上找一点P，使它到直线：的距离最短，并求出最短距离.

8 . 如图，已知椭圆：，直线：与圆：相切且与椭圆交于A，B两点．
   
(1)若线段AB中点的横坐标为，求m的值；
(2)过原点O作的平行线交椭圆于C，D两点，设，求的最小值．

9 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值.

10 . 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为蒙日圆．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上两个动点，直线的方程为，下列说法正确的是（       ）

A．的蒙日圆的方程为

B．对直线上任意一点，

C．过点作的垂线，垂足为，则的最小值为

D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为