1 . 已知椭圆的短轴长为，是上一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，是轴上不同的两点，直线，分别交椭圆于另一点，，若，证明：椭圆在点处的切线与的外接圆相切．

2 . 设椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左，右顶点分别为，，过定点的直线与椭圆交于，两点（与，不重合），证明：直线，的交点的横坐标为定值．

3 . 如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴，离心率，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，轴，.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：是椭圆C的任一条切线，点，点是切线l上两个点.证明：以为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标.

4 . 一个焦点在直线上，且离心率.
(1)求该椭圆的方程；
(2)若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证：轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；
(3)在（2）的条件下，能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.

5 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.
（1）求的标准方程；
（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；
（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 设为坐标原点，椭圆：经过升缩变换后变为曲线，是曲线上的点.
（1）求曲线的方程.
（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.

7 . 已知椭圆（，）的离心率为，且其右顶点到右焦点的距离为.
（1）求的方程；
（2）点，在上，且.证明：存在定点，使得到直线的距离为定值.

8 . 已知椭圆，点在上，，且
(1)求出直线所过定点的坐标；（不需要证明）
(2)过A点作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

9 . 已知椭圆的右焦点为，与轴不重合的直线过焦点，与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，，的延长线分别交直线于，两点，证明：以为直径的圆过定点.

10 . 已知分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点．

（1）若点M的坐标为，求的面积；
（2）若点M的坐标，且直线与交于两不同点A、B，求证：为定值，并求出该定值；
（3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线的斜率分别记为．如果为定值，试问：是否存在锐角，使？若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由．