1 . 如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

   

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

2 . 已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切．

(1)求的方程．
(2)过上一点作圆的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与的另一个交点分别为，．证明：

①直线，的斜率之积为定值；

②．

3 . 已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过A作，垂足为B，试问是否存在定点M，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．

4 . 在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设点M，N在曲线C上，O为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

5 . 已知椭圆的离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的上、下焦点分别为、，过点作斜率为的直线交椭圆于A，B两点，直线，分别交椭圆于M，N两点，设直线MN的斜率为.求证：为定值.

6 . 已知点，动点M满足，动点的轨迹记为.
(1)求的方程；
(2)若不垂直于轴的直线过点，与交于两点（点在轴的上方），分别为在轴上的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

7 . 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为．

(1)求C的方程；
(2)若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

8 . 椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.

9 . 已知椭圆的标准方程为，椭圆过点且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与相交于，两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.

10 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
(1)记直线，的斜率分别为，，求的值；
(2)设直线与交于点，求的值.