2 . 2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率．

(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围．

3 . 在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.
(1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；
(2)若抽4次，抽到道代数题，求随机变量的分布列和期望.

5 . 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．

(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；
(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？

6 . 我国某科创企业使用新技术对一种晶圆进行试产，晶圆是制造各式芯片的基础．现对该种晶圆进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种晶圆的次品率为，且每个晶圆是否为次品相互独立．该企业现有最新批次的晶圆10000个，给出下面两种检测方法．
方法1：对10000个晶圆逐一进行检测．
方法2：将10000个晶圆分为1000组，每组10个．对于每个组，先把10个晶圆串联起来组成一个晶圆组，对该晶圆组进行一次检测．如果检测通过，那么可断定这10个晶圆均为正品；如果不通过，那么再逐一检测．
(1)按方法2，求一个待检的晶圆组中恰有1个次品的概率（结果保留4个有效数字）．
(2)从平均检测次数的角度，哪种方法较好？请说明理由．
（参考数据：）

8 . 某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工定点趣味投篮比赛．每位教工投篮若干次，投篮得分规则如下：第一次投篮，投中得2分，否则得1分；从第二次投篮开始，投中则获得上一次投篮得分的两倍，否则得1分．教工甲参加此次投篮比赛，每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立．
(1)求教工甲前四次投篮得分之和为5的概率．
(2)设教工甲第k次投篮所得分数的数学期望为．
①求，并求与之间的递推关系式；
②若，求投篮次数k的最小值．

10 . 某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
(1)已知，，证明：，；
(2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据．
（ⅰ）请用和分别代替和，估算和；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值．