1 . 给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为．
(1)当时，设，，写出，并求；
(2)当时，对给定的数阵，证明：是的倍数；
(3)证明：对给定的数阵，总存在，使得．

2 . 设为整数．有穷数列的各项均为正整数，其项数为m（）．若满足如下两个性质，则称为数列：①，且；②
(1)若为数列，且，求m；
(2)若为数列，求的所有可能值；
(3)若对任意的数列，均有，求d的最小值．

3 . 已知等比数列的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列．
(1)若集合，写出一组符合题意的数列和；
(2)若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值；
(3)若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”．

7 . 对任意实数，记为不大于的最大整数，再记，由此可定义函数，进而可定义递推数列.

(1)求的定义域，并判断是否有反函数(只需写出判断结果，无需说明理由).
(2)求证：①的每一项都是正有理数；②的任意两项均不同.
(3)为进一步研究各项的取值情况，有人把该数列排成了下述的“二分树状表”，并探究了图中由箭头连接的两数间的关系，进而猜想“的各项取遍所有正有理数”.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.

8 . 已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：
①；
②，其中．
(1)若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；
(2)当时，若，求证：；
(3)当时，若，求证：．

9 . 已知有限数列A：，，…，（且）各项均为整数，且满足对任意，3，…，N成立．记．
(1)若，，求能取到的最大值；
(2)若，求证：；
(3)若（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．