1 . 已知z，ω为复数，（1＋3i）z为纯虚数，，且|ω|＝，求ω.

2 . 设复数、满足.
(1)若、满足，求、；
(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

3 . （1）计算：（i为虚数单位）；
（2）已知z是一个复数，求解关于z的方程（i为虚数单位）．

4 . 设，问：
（1）a，b满足什么条件时，是实数；
（2）若，求z.

5 . 已知，关于的方程．（是虚数单位）
（1）若方程有实数根，求实数；
（2）证明：方程无纯虚数根．

6 . 已知为虚数，且满足，（i是虚数单位）．
（1）若是纯虚数，求；
（2）求的最大值．

7 . 已知复数，i是虚数单位.
（1）若是实数，求b的值；
（2）在①点P在实轴上，②点P在虚轴上，③点P在一､三象限的角平分线上，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：若，复数在复平面内对应的点为P，且___________，求实数m的值.
注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答记分.

8 . 任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
（），我们称这个结论为棣莫弗定理．
（1）请证明棣莫弗定理；
（2）根据棣莫弗定理，直接写出方程在复数范围内的四个根．（不需要过程）

9 . 已知复数，，是虚数单位．
（1）求证；
（2）若为实数，求实数的值

10 . 设复数(其中)，.
（1）若是实数，求的值；
（2）若是纯虚数，求.