【推荐1】已知椭圆过点，且左、右顶点分别为，左焦点为，上、下两个顶点分别为为坐标原点，与面积的比值为．
（1）求的标准方程；
（2）过且斜率为的直线与椭圆交于两点，点在轴上，且满足，已知，求与面积比值的最小值．

【推荐2】已知椭圆C：的离心率，设，，，其中A，B两点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线交椭圆C于M，N两点（M在线段AB上方），在AN上取一点H，连接MH交线段AB于T，若T为MH的中点，证明：直线MH的斜率为定值．

【推荐3】如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”.已知椭圆上的点的上辅点为.

（1）求椭圆E的方程；
（2）若的面积等于，求上辅点Q的坐标；
（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论.

【推荐1】已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．

【推荐2】在直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，的最小值为8．

(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆：，为椭圆上一点，过点的直线交椭圆于A，两点，且为线段的中点，过，两点的直线交椭圆于，两点，如图．当在椭圆上移动时，四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】如图，在直角坐标系中，椭圆的上焦点为，椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程.
（2）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的方程.

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，椭圆：，点P为椭圆的上顶点，点A，C为椭圆上关于原点对称的两个动点.斜率为的直线PA与椭圆交于另一点B，斜率为的直线PC与椭圆交于另一点D

(1)求的值；
(2)求的值.

【推荐2】已知为抛物线上异于原点的任意一点，当直线的斜率为时，．直线交抛物线于，两点，射线，分别交椭圆于，两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）记和的面积分别为和，当时，求直线的斜率．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点为，，P是椭圆上的点，当点P在椭圆上运动时，面积的最大值为4，当轴时，面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，若直线、交椭圆另一点分别是A、B，点P不在x轴上，且，求点P的坐标．