【推荐1】如图，要利用一半径为的圆形纸片制作三棱锥形包装盒.已知该纸片的圆心为，先以为中心作边长为（单位：）的等边三角形，再分别在圆上取三个点，，，使，，分别是以，，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合于点，即可得到正三棱锥.

（1）若三棱锥是正四面体，求的值；
（2）求三棱锥的体积的最大值，并指出相应的值.

【推荐2】一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥）型容器，当多大时，该容器的体积最大.

【推荐3】为了提升学生“数学建模”的核心素养，某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务：如图，有一张边长为27cm的等边三角形纸片ABC，从中裁出等边三角形纸片作为底面，从剩余梯形中裁出三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱（不计损耗）．

（1）若三棱柱的侧面积等于底面积，求此三棱柱的底面边长；
（2）当三棱柱的底面边长为何值时，三棱柱的体积最大？

【推荐1】已知三棱锥的底面是等边三角形，侧棱长都是，，过点A作截面AEF，求周长的最小值．

【推荐2】如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为和，侧面积为，求其表面积和其对应正四棱锥的体积.

【推荐3】已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，求这个正四棱锥的体积.

【推荐1】如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.

(1)求证：平面平面；
(2)求几何体的体积

【推荐2】如图，在五棱柱中，侧棱垂直于底面，，，AE⊥AB，，AA₁=3，过点作截面AB₁D₁E.

(1)求直三棱柱的表面积；
(2)求多面体的体积.

【推荐3】如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．M是棱PD上的点，O是棱AB的中点，PO为四棱锥的高，且四面体MPBC的体积为．
   
(1)证明：；
(2)若过点C，M的平面与BD平行，且交PA于点Q，求多面体体积．