【推荐1】设，如图，已知直线及曲线，C上的点的横坐标为．从C上的点作直线平行于x轴，交直线l于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点．的横坐标构成数列．

(1)试求与的关系，并求的通项公式；
(2)当时，证明；
(3)当时，证明：．

【推荐2】已知数列（）满足：
(1)若，且，，时，求的通项公式；
(2)若，，，．设是的前项之和，求的最大值．

【推荐3】已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且对任意n，恒成立.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，已知，，(2＜i＜j)成等差数列，求正整数i，j.

【推荐1】设集合是由数列组成的集合，其中数列同时满足以下三个条件：
①数列共有项，；②；③
（1）若等比数列，求等比数列的首项、公比和项数；
（2）若等差数列是递增数列，并且，常数，求该数列的通项公式；
（3）若数列，常数，，求证：.

【推荐2】设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
(1)若数列，，判断和是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

【推荐3】已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)记，求．

【推荐2】已知空间向量列，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”．
(1)若是“等比向量列”，为单位向量，求（用表示）；
(2)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，．求．
(3)若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值．

【推荐3】已知数列的各项均为正值，对任意，都成立.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求数列的前项和;
(3)当且时，证明对任意都有成立.

【推荐1】已知数列，，且．
（1）若的前项和为，求和的通项公式
（2）若，求证：

【推荐2】差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”.
(1)设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；
(2)设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由；
(3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值.

【推荐3】设集合均为实数集的子集，记.
(1)已知，试用列举法表示；
(2)设，当且时，曲线的焦距为，如果，，设中的所有元素之和为，求的值；
（3）在（2）的条件下，对于满足，且的任意正整数，不等式恒成立， 求实数的最大值.