【推荐1】已知数列为等比数列，且，数列为等差数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，试求数列的前项和.

【推荐2】已知等差数列的前项和为，公差为，且是，的等比中项.
(1)求；
(2)若，求的值.

【推荐3】有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.
设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【推荐1】已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．

【推荐2】设是等比数列，公比大于，其前项和为（）. 是等差数列，已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为（），求.

【推荐3】已知等差数列的公差，且.
（1）求及；
（2）若等比数列满足，，求数列的前n项和.

【推荐1】某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.

【推荐2】已知数列的前项和为，,.
（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．

【推荐3】已知是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，且.
(1)求数列的通项及；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列.求数列的通项公式及其前项和.

【推荐1】已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．

【推荐2】已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)若对一切正整数.不等式恒成立.求的最小值.

【推荐3】已知正项数列满足，，且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.