【推荐1】已知抛物线C的一个焦点为，对应于这个焦点的准线方程为
（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

【推荐2】我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点，的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点，的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线．
（1）试求平面内到两个定点，的距离之商为定值且的点的轨迹；
提示：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
设，的坐标分别为，其中
（2）若中，满足，，求三角形的面积的最大值.

【推荐3】出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”：，请解决以下问题：
（1）求线段上一点到点的“距离”；
（2）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程，并求该“圆”围成的图形的面积；
（3）若点到点的“距离”和点到点的“距离”相等，其中实数满足，求所有满足条件的点的轨迹的长之和.

【推荐1】已知动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的轨迹为，圆的圆心分别为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设轨迹与轴的交点分别为，若过点的直线与轨迹相交于不同的两点.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求面积的最大值.

【推荐2】已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，若，设过点A的动直线与M相交于，两点.
(1)求动点M的方程.
(2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知点Q是圆M：上一动点（M为圆心），点N的坐标为，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E．

(1)求曲线E的轨迹方程；
(2)求直线与曲线E的相交弦长；

【推荐1】已知椭圆，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.
(1)求E的方程；
(2)过E的右焦点F作相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.

【推荐2】已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．

【推荐3】已知椭圆：的离心率为，直线交椭圆的弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)经过定点的直线交椭圆于两点，椭圆的右顶点为，设直线，的斜率分别为，，求证：恒为定值.

【推荐1】已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过点的动直线与椭圆相交于，两点，若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.

【推荐2】椭圆，过点的直线和相互垂直（斜率存在），分别是和的中点．求证：直线过定点．

【推荐3】椭圆C的焦点为，，椭圆上一点.直线l的斜率存在，且不经过点，l与椭圆C交于A，B两点，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线l过定点.