【推荐1】如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点. 则=________

【推荐2】在中，，且，则________.

【推荐3】如图所示，隔河可以看到对岸两目标，但不能到达，现在岸边取相距的两点，测得（在同一平面内），则两目标间的距离为_________.

【推荐1】已知椭圆与双曲线有共同的焦点，它们的离心率分别为是它们的一个公共点.若，则的最小值为__________.

【推荐2】已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是__________ ．

【推荐3】已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该椭圆的离心率为，则________.

【推荐1】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，双曲线的一条渐近线被抛物线截得的弦为，为坐标原点，若为直角三角形，则该双曲线的离心率等于_______．

【推荐2】如图，在梯形中，已知，，双曲线过三点，且以为焦点，则双曲线的离心率为_____________.

【推荐3】瑞士著名数学家欧拉在年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线与轴与双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心、重心、垂心所成集合，若的斜率为，则该双曲线的离心率可是以是①，②，③，④，⑤.以上结论正确的是_______.

【推荐1】已知，且.式子的最小值是___________.

【推荐2】已知正数满足，则的最大值是_______

【推荐3】已知，则的最小值为________．