【推荐1】已知椭圆的焦距为4，短轴长为4.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）已知点，过点P作相互垂直的两条直线分别交椭圆于另一点A，B，求点P到AB距离的最大值.

【推荐2】已知为坐标原点，圆，定点，点是圆上一动点，线段的垂直平分线交圆的半径于点，点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点是曲线上但不在坐标轴上的任意一点，曲线与轴的交点分别为，直线和分别与轴相交于两点，请问线段长之积是否为定值？如果还请求出定值，如果不是请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点坐标为（-1,0），设过点的直线与相交于两点，求面积的最大值.

【推荐3】已知焦点在轴的椭圆，它的一个顶点为，离心率，过点作斜率为的直线，与椭圆交于、两点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，设直线、在轴上的截距分别为、，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【推荐2】在同一平面直角坐标系中，圆经过伸缩变换后，得到曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，连接并延长与曲线相交于点，且.求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，，是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点，关于直线对称的点为M，关于直线对称的点为N．
(1)证明：；
(2)设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围．

【推荐1】已知，分别为椭圆C:的左、右焦点，点在椭圆C上．
（1）求的最小值；
（2）已知直线l：与椭圆C交于两点A、B，过点且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为，．过点的直线交椭圆于，两点，直线与的交点为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：点在一条定直线上．