【推荐1】在三棱锥中，，，，则的外接圆半径为__________；若三棱锥的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为__________.

【推荐2】在中，角，，所对应的边分别为，，，，的外接圆面积为，则面积的最大值是___________.

【推荐3】在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列．若，则的外接圆面积为____________．

【推荐1】如图为某水晶工艺品的示意图，该工艺品是将一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的空心圆柱内构成的，大球与圆柱下底面相切.为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品内最多可放入_________个小球（取，）.

【推荐2】勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.

【推荐3】在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为__________.

【推荐1】如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线，则此圆锥外接球的表面积为______；E是其母线PB的中点，若平面过点E，且平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时该抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为________．

【推荐2】已知A，B，C为球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为，若球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为______．

【推荐3】若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为___________.

【推荐1】在几何体中，是正三角形，平面平面，且，，则的外接球的表面积等于__________．

【推荐2】如图，已知圆 的直径长为 2 ，上半圆圆弧上有一点，点是劣弧上的动点，点是下半圆弧上的动点，现以为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面角，连接则三棱锥的最大体积为___________.

【推荐3】如图，在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是__________.