【推荐1】数列中，，，其前项和为，且．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．

【推荐2】在正项等比数列中，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.

【推荐3】设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)是否存在，使得 是数列 中的项？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】设数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．

【推荐2】已知数列的前项和为，，，数列中，，满足.
（1） 求出，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使得时，对所有的恒成立的最大正整数值.

【推荐3】在单调递增的等差数列中，前项和为，已知，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.

【推荐1】已知递增的等差数列的前项和是，且满足，是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：．

【推荐2】在一次小组合作学习中，小红同学在复习她曾经做过的一道数列题目发现因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前n项和为，已知____________，
（1）判断的关系并给出证明．
（2）若，设，的前n项和为，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．
小红同学经过回忆记得缺少的条件可能是公比q的值，同组的小明同学记得缺少的条件也是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列．如果他们记得的可能的条件和答案都是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．

【推荐3】函数，数列满足，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，，求证：．