【推荐1】在平面直角坐标系中，已知圆经过、、三点，其中.
(1)求圆的标准方程（用含的式子表示）；
(2)已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为、，圆与轴的两个交点分别为、，且点在点右侧，点在点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在轴上，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)椭圆上一点P在第一象限，且满，与椭圆交于点Q，直线交的延长线于点D．若的面积为，求椭圆的标准方程．

【推荐3】设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线与椭圆有唯一公共点M（M在第一象限中），与轴交于N，，其中O为坐标原点.
（i）求直线的斜率；
（ii）若，求椭圆的方程.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)若AB分别为的上、下顶点.O为坐标原点，直线l过的右焦点F与交于C，D两点，与y轴交于P点.
①若E为CD的中点求点E的轨迹方程；
②若AD与直线BC交于点Q，求证为定值.

【推荐2】已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；
（3）连接，试探索当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

【推荐3】如图，已知椭圆： 的长轴长为4，焦距为，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C、D在椭圆上，点D在第一象限，CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆、y轴分别交于点F、G，直线CG交椭圆于点H，联结FH.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线AE、CG的斜率分别为，求证∶为定值；
（3）求直线FH的斜率k的最小值.

【推荐2】设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程.

【推荐3】已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值．