【推荐1】已知数列满足，（）．
（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．

【推荐2】已知，无穷数列中，．记前n项的和为构造数列：．
（1）若为单调递减数列，直接写出数列的通项公式：
（2）若，且存在使得，求证：存在，使得．

【推荐3】已知数列中，，且，为其前项的和．

(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的最小正整数的值；
(3)设，，其中，若对任意，，总有成立，求的取值范围．

【推荐1】已知数列的前n项和为，满足()；数列为等差数列．且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若为数列的前n项和，求满足不等式的n的最大值．

【推荐2】已知实数列{}，|满足．数列{}是公差为p的等差数列，数列是公比为p的等比数列．
(1)若，求数列{}的通项公式；
(2)记数列，的前n项和分别为，．若，证明：．

【推荐3】已知数列满足：（）且，数列的前n项和满足：（）.
（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.

【推荐1】用两种方法证明：能被49整除．

【推荐2】求证：（）能被64整除．

【推荐3】对由和这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“”的最后一个所在数位是第(,且)位,则称子串“”在第位出现;再继续从第位按从左往右的顺序找子串“”,若第二个子串“”的最后一个所在数位是第位(其中且),则称子串“”在第位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串中,子串“”在第位和第位出现,而不是在第位和第位出现.记在位由组成的所有字符串中,子串“”在第位出现的字符串的个数为.
（1）求的值;
（2）求证:对任意的正整数,是的倍数.

【推荐1】已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)判断是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求和；
(3)求证：．

【推荐2】已知数列的前项和为，且满足为常数且，数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，，记数列的前项和为，求的值.

【推荐3】已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求的最大值.