【推荐1】已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，求证：为定值.

【推荐2】已知椭圆的长轴长为4，焦距为，点为椭圆上一动点，且直线的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别是椭圆的左右顶点，若点是上不同于的两点，且满，求证：的面积为定值．

【推荐3】已知椭圆的左焦点，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过圆上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
（ⅰ）当直线的斜率都存在时，记直线的斜率分别．求证：；
（ⅱ）求的取值范围．

【推荐1】已知圆M：，直线l：（）过定点N，点P是圆M上的任意一点，线段的垂直平分线和相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l交C于A，B两点，D，B关于x轴对称，直线与x轴交于点E，且点D为线段的中点，求直线l的方程.

【推荐2】已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，短轴端点为P，Q，四边形的周长为8，面积为，且离心率，直线l过椭圆C的右焦点且与椭圆C交于M、N两点，其中M点在第一象限．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若分别为直线的斜率，是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知圆，线段的中点是坐标原点，设直线的斜率分别为，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设直线分别交圆于点，直线的斜率分别为，已知直线与轴交于点.问：是否存在常数，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【推荐1】已知椭圆，直线l：x+y-2=0与圆相切，且l被圆截得的弦长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l₀过椭圆右焦点F，与椭圆交于A，B两点，设椭圆的右顶点为M，设△MAF的面积和△MBF面积比为λ，试求的取值范围；

【推荐2】如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当，，成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”

(1)若猫眼曲线过点，且，，的公比为，求猫眼曲线的方程；
(2)对（1）中求出的猫眼曲线，任意作一条斜率为且不过原点的直线与椭圆，均相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，求证为定值；
(3)已知的长轴长是，的离心率是，斜率为的直线为椭圆的切线交椭圆于点，为椭圆上的任意一点点与点不重合，求面积的最大值．

【推荐3】已知平面上动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹为曲线.直线的斜率存在，且与曲线交于两个不同的点.
(1)求曲线的方程；
(2)若的面积为，证明：为定值.