【推荐1】如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面，点在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，的最大值为__________.
   

【推荐3】已知正四面体的棱长为9，点是内（含边界）的一个动点，满足到平面、平面、平面的距离成等差数列，则点到平面的距离的最大值为________．

【推荐1】如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是______

   

①；

②存在点，使得//面；

③的最小值为；

④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为.

【推荐2】如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．

【推荐3】已知三棱锥A﹣BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两垂直，其长度分别为a，b，c.点A在底面BCD内的射影为O，点A，B，C，D所对面的面积分别为S_A，S_B，S_C，S_D.在下列所给的命题中，正确的有______.（请写出所有正确命题的编号）
①三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（a²+b²+c²）π；
②S_A•S_△BCO＝S_D²；
③S_A³＜S_B³+S_C³+S_D³；
④若三条侧棱与底面所成的角分别为α₁，β₁，γ₁，则sin²α₁+sin²β₁+sin²γ₁＝1；
⑤若点M是面BCD内一个动点，且AM与三条侧棱所成的角分别为α₂，β₂，γ₂，则cos²α₂+cos²β₂+cos²γ₂＝1.

【推荐2】如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，BC的中点，过点，E，F的平面记为，则下列说法中正确的序号是___________.

①平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形
②平面截直四棱柱所得截面的面积为
③二面角的正切值为
④点B到平面的距离与点D到平面的距离之比为1∶3

【推荐3】如图，在矩形中，是边的中点，将沿直线折成，使得二面角的平面角为锐角，点在线段上运动(包括端点)，当直线与平面所成角最大时，在底面内的射影面积为___________.

【推荐1】已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题：
（1）若，，则
（2）若a，b在平面α内，且，，则
（3）若α，β分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交
（4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交
其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号）

【推荐2】在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，．当直线平面时，P的轨迹被以为球心，R为半径的球面截得的长度为2，则R＝______；当时，经过A，，P的平面与棱交于点Q，则直线PQ与平面所成角的正切值的取值范围为______．

【推荐3】如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点是侧棱的中点，点、分别是侧面、底面内的动点，且平面，平面，则点的轨迹的长度为__．