【推荐1】已知数列的前项和，其中是常数.
（1）若，求通项公式；
（2）若数列满足，记，求的最大值，并求出取得最大值时的值.

【推荐2】已知为的前项和，是等比数列且各项均为正数，且，，．
（1）求和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．

【推荐3】已知数列的前项和为, 满足, 且.
(1) 令, 证明:；        (2) 求的通项公式.

【推荐1】为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中）

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(1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？
(2)根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立关于的回归方程；
（ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？
(3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？

【推荐2】记函数，其导函数为.
(1)讨论的极值点个数；
(2)当时，令，若是关于的方程的两个相异的实数根，证明：.

【推荐3】已知函数，．
（Ⅰ）求的极值点；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围．