【推荐1】椭圆：的离心率为，椭圆截直线所得的弦长为，过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点，直线与圆：相切于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程和圆的半径.

【推荐2】如图所示，在平面直角坐标系中，圆的方程为，圆与轴交于，两点，且在的右侧，设直线的方程为．

（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；
（2）已知直线与圆相交于，两点．
①直线与轴交于点，若（在之间），求直线的方程；
②连接，，并分别延长相交于点，问是否存在一定直线，使得点恒在该直线上运动，若存在，请求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，且的最小值是（为坐标原点）.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知动直线与圆：相切，且与椭圆交于，两点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知两圆：，：，动圆C在圆的内部，且与圆相内切，与圆相外切．

(1)求点的轨迹方程；
(2)设点，，过点的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值．

【推荐2】已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.

【推荐3】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于轴的直线与轨迹交两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.

【推荐1】已知椭圆系方程：(，)， 是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.

（1）求的离心率并求出的方程；
（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，一个顶点为，直线交椭圆于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若（是坐标原点）的面积为定值1，求证：直线与直线的斜率之积为定值.

【推荐3】在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，过椭圆的左焦点作直线（斜率存在且不为0）交椭圆于两点，过右焦点作直线交椭圆于两点，且，直线交轴于点，动点（异于）在椭圆上运动.
①证明：为常数；
②当时，利用上述结论求面积的取值范围.