【推荐1】已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)设函数，若有两个零点，求实数的取值范围．

【推荐2】已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知函数.
（1）若函数有2个零点，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程有两个不等实根，证明：
①；
②.

【推荐1】已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.
(1)设，求的特征向量；
(2)设向量的特征函数为，求当且时，的值；
(3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值.

【推荐2】在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，，函数在区间上有9个零点.
(1)求a，b的值；
(2)若，求c的取值范围.

【推荐3】如图是函数图象的一部分.

(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.

【推荐1】已知函数
(1)求函数的对称轴方程；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．

【推荐2】已知函数.
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）若方程在上的解为、，求的值．

【推荐3】已知函数，为常数.
(1)证明：的图象关于直线对称.
(2)设在上有两个零点，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.

【推荐1】设，若函数定义域内的任意一个x都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个x都满足．已知函数．
（Ⅰ）证明：函数的图象关于点对称；
（Ⅱ）已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．

【推荐2】固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

【推荐3】若函数在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”.
(1)函数是否有漂移点？请说明理由；
(2)证明函数在上有漂移点；
(3)若函数 在上有漂移点，求实数的取值范围.