【推荐1】设函数，其中．若函数
在区间上单调递增，
（1）求实数a的取值范围
（2）记函数（其中），若恒成立，求实数a的取值范围

【推荐2】已知函数，，．
(1)求的最大值；
(2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)证明不等式（其中是自然对数的底数）．

【推荐3】已知函数.
(1)当时，证明：
(2)若的最小值为1，求的取值范围.

【推荐1】（1）求内接于半径为R的圆且面积最大的矩形；
（2）求内接于半径为R的球且体积最大的圆柱．

【推荐2】某公园有一个矩形地块（如图所示），边长千米，长4千米．地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线是以为顶点，以所在直线为对称轴的抛物线的一部分，现要经过曲线上某一点（异于，两点）铺设一条直线隔离带，点分别在边，上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点到边的距离为（单位：千米），的面积为（单位：平方千米）．

   

(1)请以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出关于的函数解析式；
(2)是否存在点，使隔离出来的的面积超过2平方千米？并说明理由．

【推荐3】如图，已知边长为2的正方形材料，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设.

（1）用表示此容器的体积；
（2）当此容器的体积最大时，求的值.

【推荐1】已知圆与抛物线有一条斜率为1的公共切线.

（1）求.
（2）设与抛物线切于点，作点关于轴的对称点，在区域内过作两条关于直线对称的抛物线的弦，.连接.
①求证：；
②设面积为，求的最大值.

【推荐2】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴，点抛物线上， 且到抛物线的准线的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在抛物线的准线上，过点作拋物线的两条切线分别交轴于两点，当面积为时，求点的坐标.

【推荐3】如图，过抛物线的焦点F作直线l交C于，两点，其中，设直线分别与抛物线相切于点A，B，交于点P.

（1）若，求切线的方程；
（2）过F作y轴的垂线交于点M，若有且仅有一条直线l使得，求t的取值范围.