【推荐1】在平面直角坐标系内，椭圆E：过点，离心率为．
(1)求E的方程；
(2)设直线（k∈R）与椭圆E交于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得对任意实数k，直线AM，BM的斜率乘积为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为B、A，，是椭圆内一点，直线AM、BM分别与椭圆C交于P、Q两点.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若的面积是的面积的5倍，求实数m的值.

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程；
(3)若过椭圆上任意一点的切线与（2）中所求点的轨迹方程交于、两点，求证：．

【推荐2】如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，点在椭圆上，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)动直线交椭圆于，两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段上一点，圆的半径为，且，求的范围.

【推荐3】已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点，求的取值范围；
(3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆：的离心率为，直线过C的焦点且垂直于x轴，直线被C所截得的线段长为.
(1)求C的方程；
(2)若C与y轴的正半轴相交于点P，点A在x轴的负半轴上，点B在C上，，，求的面积.

【推荐2】已知动点是圆：上的任意一点，点与点的连线段的垂直平分线和相交于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过坐标原点的直线交轨迹于点，两点，直线与坐标轴不重合.是轨迹上的一点，若的面积是4，试问直线，的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由.

【推荐3】已知椭圆，是它的上顶点，点各不相同且均在椭圆上.
（1）若恰为椭圆长轴的两个端点，求的面积；
（2）若，求证：直线过一定点；
（3）若，的外接圆半径为，求的值.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，求证：.

【推荐2】如图，已知椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点.

（1）当直线过椭圆的右焦点时，求的面积；
（2）记直线的斜率分别为，求证：为定值.

【推荐3】椭圆：的左，右焦应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线：与椭圆切于点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点.证明：存在常数，使得，并求的值；
（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设后的角平分线交的长轴于点，求的取值范围.