题型：解答题-证明题
难度：0.4
引用次数：720
题号：20715107
已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双曲线上.过的左焦点F作直线
交的左支于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M在以
为直径的圆上?请说明理由.
(3)点
，直线
交直线
于点
.设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值.
：的离心率为，点在双曲线上.过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点.(1)求双曲线C的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由.(3)点
，直线交直线于点.设直线、的斜率分别、，求证：为定值.
更新时间：2023-11-12 21:14:13
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【推荐1】如图，已知
是中心在坐标原点、焦点在
轴上的椭圆，
是以的焦点
为顶点的等轴双曲线，点
是与的一个交点，动点
在的右支上且异于顶点.与的方程；
(2)若直线
的倾斜角是直线
的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线
的斜率分别为
，直线与相交于点
，直线与相交于点
，
，
，求证：
且存在常数
使得
.
是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
与的方程；(2)若直线
的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；(3)设直线
的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
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【推荐2】已知双曲线：
的两条渐近线互相垂直，且过点
．
(1)求双曲线的方程；
(2)设为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为
，与双曲线交于
，
两点，直线
过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，与直线
，
分别交于
（不在坐标轴上）两点，若直线
，
的斜率之积为定值，求点的坐标．
：的两条渐近线互相垂直，且过点．(1)求双曲线
的方程；(2)设
为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为，与双曲线交于，两点，直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，与直线，分别交于（不在坐标轴上）两点，若直线，的斜率之积为定值，求点的坐标．
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的离心率为
，点
，求双曲线
分别为双曲线
，使得
如果存在，请求出
【推荐1】设双曲线
的离心率为
，且顶点到渐近线的距离为
．已知直线过点
，直线l与双曲线C的左、右两支的交点分别为M、N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为P、Q，其中点Q在y轴的右侧．设
、
、
的面积分别是
、
、
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求
的取值范围．
的离心率为，且顶点到渐近线的距离为．已知直线过点，直线l与双曲线C的左、右两支的交点分别为M、N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为P、Q，其中点Q在y轴的右侧．设、、的面积分别是、、．(1)求双曲线C的方程；
(2)求
的取值范围．
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】已知双曲线
的离心率为
，点
在双曲线上．
(1)求双曲线
的方程；(2)设过点
的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得
为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．
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，
），点
，
，离心率为
，且原点到直线
.
交双曲线于
两点，且
的值.
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解题方法
【推荐1】设点为双曲线
上任意一点，双曲线
的离心率为，右焦点与椭圆
的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形
的面积为定值，并求出此定值．
为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求双曲线
的标准方程；（2）过点
作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．
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【推荐2】已知双曲线C与双曲线
有相同的渐近线，且过点
.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点
，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且
，
于点G，证明:存在定点H，使
为定值.
有相同的渐近线，且过点.(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点
，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.
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的左
是坐标原点，焦点到渐近线的距离为
在双曲线
与双曲线
是双曲线
与直线
，直线
与直线
交于点
，证明：
.
