【推荐1】已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的，且,有
（I）求证：
（II）求证：
（III）对于，试给出一个满足条件的集合A.

【推荐2】已知数列满足（为常数，），
(1)当时，求；
(2)当时，求的值；
(3)问：使恒成立的常数是否存在？并证明你的结论.

【推荐3】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图“”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），;
(1)当时，试确定使得需要多少步雹程；
(2)若，求所有可能的取值集合．

【推荐1】已知数列满足,它的前项和为，且，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）已知等比数列满足，，设数列的前项和为，求．

【推荐2】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.
(1)证明：.
(2)已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.

【推荐3】已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列，
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和；
(3)若数列满足，求证：.

【推荐1】已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项.
(1)求证:数列为等差数列；
(2)设，求的前项和.

【推荐2】已知等比数列各项都是正数，其中，，成等差数列，.
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，求数列的前项和.

【推荐3】已知的三个内角A，，对应的边分别为，，，且．
(1)证明：A，，成等差数列；
(2)若的面积为，求的最小值．

【推荐1】已知公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列，为的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的最大正整数的值．

【推荐2】设等差数列的公差为，前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的公差为正整数，，，其中是正整数，求数列的前项和.

【推荐3】已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设函数，，，求的最大值.