【推荐1】根据条件，求下列曲线的方程．
（1）已知两定点,曲线上的点到距离之差的绝对值为，求曲线的方程；
（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为的椭圆的标准方程．

【推荐2】在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线：与曲线交于两点，问曲线上是否存在两点满足，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.

【推荐3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．

【推荐1】已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长.

【推荐2】已知双曲线：的离心率为，实轴长为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线被双曲线截得的弦长为，求的值．

【推荐3】求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程．

【推荐1】中心在原点的双曲线的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于两点，且是弦的中点?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线在轴上截距为2，求；
(3)若的中点横坐标为1，求直线的方程．

【推荐3】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)直线与的轨迹交于A，B两点，AB的中点坐标为，求直线的方程.