【推荐1】如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且.

（1）证明：平面；
（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积.

【推荐2】如图，在三棱柱中，D为AC的中点，AB=BC=2，.

(1)证明：；
(2)若，且满足：三棱柱的体积为，二面角的大小为60°，求二面角的正弦值.

【推荐3】如图，直三棱柱中，，为上一点，且.
   
(1)证明：平面平面；
(2)若直三棱柱的体积为，求二面角的余弦值.

【推荐1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E为侧棱PD上一点．

（Ⅰ）求证：平面ABE；
（II）求证：；
（III）若E为PD中点，平面ABE与侧棱PC交于点F，且，求四棱锥P-ABFE的体积．

【推荐2】如图1，在矩形中，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面.

（I）证明: ；
（II）求三棱锥的体积.

【推荐3】如图所示，在直四棱柱中，底面为直角梯形，，，连接，，已知，为线段上的一点，且满足=.

（1）证明：∥平面；
（2）若四棱柱高为，，为的中点，求三棱锥-的体积.

【推荐1】圆台内有一个内切球，球的表面积和圆台的侧面积的比为，求球和圆台的体积之比．

【推荐2】由球O的球面上一点P作球的两两互相垂直的三条弦PA，PB，PC．已知，，，求球O的表面积和体积．

【推荐3】正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．

【推荐1】如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁ D₁. 过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G．

（I） 证明：AD∥平面EFGH；
（II） 设AB=2AA₁ =2a .在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁内随机选取一点．记该点取自几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A₁B₁上运动且满足EF=a时，求p的最小值.

【推荐2】如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点.

(1)问：上是否存在点使得平面？请说明理由；
(2)在（1）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.

【推荐3】如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆直径．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为．
（i）当点在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．