【推荐1】已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长.

【推荐3】已知，为双曲线E：（，）的左右焦点，点在双曲线E上，O为坐标原点．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切，分别过点，作直线l的垂线，垂足为P，Q，求面积最大值．

【推荐1】我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.
（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求的取值范围.

【推荐2】已知双曲线：的左、右焦点为、，直线与双曲线交于，两点.
(1)已知过且垂直于，求；
(2)已知直线的斜率为，且直线不过点，设直线、的斜率分别为、，求的值；
(3)当直线过时，直线交轴于，直线交轴于.是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐3】动点与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点的直线l与曲线C交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q、使得为定值?若存在，求出Q点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．