【推荐1】已知数列的首项，数列满足，为数列的前n项和，且满足：，则数列的通项公式为______，若对且，不等式恒成立，则t的取值范围为_________

【推荐2】已知是数列的前项和，，，数列是公比为2的等比数列，则_____.

【推荐3】已知函数定义在区间上，，且当时，恒有，又数列满足，，设，对于任意的，的最小自然数的值为_______________________________.

【推荐1】已知数列与满足，且为正项等比数列，，.若数列满足对任意的都有，成立，则实数的取值范围______.

【推荐2】已知数列满足，现有如下命题：
①若，成立，则数列为等比数列；
②若，成立，则数列为等比数列；
③若，成立，则数列为等比数列；
④若，成立，若存在正数，使得数列为等比数列，则数列为等比数列.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

【推荐3】已知各项均为正数的递增数列满足，则首项的取值范围为__________．

【推荐1】已知在数列中，，且，设，若，则正整数m的最大值为______.

【推荐2】已知数列满足：，记数列的前n项和为，若恒成立，则的最小值为_________．

【推荐3】已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足是和的等比中项.给出下列四个结论：
①数列的通项公式为；
②数列前21项的和为；
③数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新数列，则新数列的前100项和为236；
④设数列的通项公式，则数列的前100项和为2178.
其中所有正确结论的序号是__________.

【推荐1】已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为__________．

【推荐2】已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则______，的最小值为______.

【推荐3】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值．若，取作为r的初始近似值，则的正根的二次近似值为______．若，，设，，数列的前n项积为．若任意，恒成立，则整数的最小值为______．