【推荐1】设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前项和为，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.

【推荐2】数列是首项的等比数列，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设为数列的前项和，求证：.

【推荐3】已知函数.
（1）求的最大值；
（2）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长.

【推荐1】已知数列满足且．
(1)求通项；
(2)求数列的前项之和．

【推荐2】已知等比数列的前n项和是，且是与的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．

【推荐3】（1）已知数列的前项和为，若，求.
（2）已知是各项为正的等比数列，，，设，求数列的前项和.

【推荐1】已知等比数列的公比，且依次成等差数列．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．

【推荐2】在①，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
已知数列的前项和为，___________，数列满足，求数列的前项和.

【推荐3】已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列的通项，求数列的前n项和．

【推荐1】已知的前项和满足，其中
（Ⅰ）求证：首项为1的等比数列；
（Ⅱ）若，求证：，并给指出等号成立的充要条件．

【推荐2】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.

【推荐3】已知数列满足．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：．