【推荐1】记数列的前n项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前n项和为，求证：.

【推荐2】某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且.
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的概率分布；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.

【推荐3】某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，）
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.

【推荐1】已知数列是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.

【推荐2】已知数列{a_n}，{b_n}满足，，，．
(1)求证：为等差数列，并求{a_n}通项公式；
(2)若，记前n项和为T_n，求T_n.

【推荐3】已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．

【推荐1】已知数列满足
(1)求出数列的通项公式；
(2)已知数列前项和为，满足.数列满足，试求数列前项和为

【推荐2】已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【推荐3】已知数列的前项和.
（1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式.
（2）设，求数列的前项和.