【推荐1】已知等差数列的前项和为，，，数列是公比大于1的等比数列，且，．
(1)求，的通项公式；
(2)数列，的所有项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，…，求数列的前7项和及前项和；
(3)是否存在数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式，若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆：上的点到右焦点的最近距离是，且短轴两端点和长轴的一个端点构成等边三角形.

（1）求椭圆的方程；
（2）若点为直线：在第一象限上一点，且到直线的距离为1，求以线段为直径的圆方程；
（3）设，，是椭圆三个不同点，记：，，，若，，成等差数列，求其公差的取值范围.

【推荐3】如果数列满足：且，则称数列为“阶万物数列”．
(1)若某“4阶万物数列”是等比数列，求该数列的各项；
(2)若某“9阶万物数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)若为“阶万物数列”，求证：．

【推荐1】已知数列,为其前n项的和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，数列的前n项和为，求证:当时；
(3)若函数的定义域为R，并且，求证.

【推荐2】 已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）记若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；
（3）设为数列的前项和，其中，若不等式对任意的恒成立， 试求正实数的取值范围.

【推荐3】已知正项数列的前n项和为满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记为数列的前n项和，表示x除以3的余数，求．

【推荐1】已知等比数列的公比，且，是、的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
（3）若数列满足，在每两个与之间都插入个2，使得数列变成了一个新的数列，试问：是否存在正整数，使得数列的前项和？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

【推荐2】对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”：
①；②存在实数M，使得成立．
(1)数列、中，，判断、是否具有“性质m”；
(2)设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列是否具有“性质m”，若具有，请证明你的猜想，并指出M的范围；若不具有，理由？
(3)若数列的通项公式．对于任意的（），数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值，求证：．

【推荐3】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式：
（2）若，求正整数m的值；
（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由.