已知等差数列满足,前8项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足.
① 证明:为等比数列;
② 求集合.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足.
① 证明:为等比数列;
② 求集合.
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更新时间:2019-02-20 15:51:08
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【推荐1】抽屉原则是德国数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet,1805~1859)首先提出来的,也称狄利克雷原则. 它有以下几个基本表现形式(下面各形式中所涉及的字母均为正整数):
形式1:把个元素分为个集合,那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素.
形式2:把个元素分为个集合,那么必有一集合中含有个或个以上的元素.
形式3:把无穷多个元素分为有限个集合,那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4:把个元素分为个集合,那么必有一个集合中的元素个数,也必有一个集合中的元素个数.(注:若,则表示不超过的最大整数,表示不小于的最小整数). 根据上述原则形式解决下面问题:
(1)①举例说明形式1;
②举例说明形式3,并用列举法或描述法表示相关集合.
(2)证明形式2;
(3)圆周上有2024个点,在其上任意标上(每点只标一个数,不同的点标上不同的数).
①从上面这2024个数中任意挑选1013个数,证明在这1013个数中一定有两个数互质;(若两个整数的公约数只有1,则这两个整数互质)
②证明:在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.
形式1:把个元素分为个集合,那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素.
形式2:把个元素分为个集合,那么必有一集合中含有个或个以上的元素.
形式3:把无穷多个元素分为有限个集合,那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4:把个元素分为个集合,那么必有一个集合中的元素个数,也必有一个集合中的元素个数.(注:若,则表示不超过的最大整数,表示不小于的最小整数). 根据上述原则形式解决下面问题:
(1)①举例说明形式1;
②举例说明形式3,并用列举法或描述法表示相关集合.
(2)证明形式2;
(3)圆周上有2024个点,在其上任意标上(每点只标一个数,不同的点标上不同的数).
①从上面这2024个数中任意挑选1013个数,证明在这1013个数中一定有两个数互质;(若两个整数的公约数只有1,则这两个整数互质)
②证明:在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.
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较难
(0.4)
【推荐2】对于一个所有元素均为整数的非空集合,和一个给定的整数,定义集合.
(1)若,直接写出集合和;
(2)若,其中,求的值,使得集合中元素的个数最少(直接写出答案,不需要说明理由);
(3)若和都是自然数,集合时,求出使得成立的所有和的值,并说明理由.
(1)若,直接写出集合和;
(2)若,其中,求的值,使得集合中元素的个数最少(直接写出答案,不需要说明理由);
(3)若和都是自然数,集合时,求出使得成立的所有和的值,并说明理由.
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】近两年因为疫情的原因,同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了.相较于在学校教室里线下课程而言,上网课因为少了课堂氛围,难于与老师和同学互动,听课学生很容易走神.为了提升同学们的听课效率,授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测,即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到,若同学们能够在10秒钟内完成签到,则说明该同学在认真听课,否则就可以认为该同学目前走神了.经过一个月对全体同学上课情况的观察统计,平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到.为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况,我们做如下两个约定:
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等;
②约定每次专注度监测中,每名同学完成签到加2分,未完成签到加1分.
请回答如下两个问题:
(1)若某班级共有50名学生,一节课老师会进行三次专注度监测,那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少?
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为(比如:表示累计得分为1分的概率,表示累计得分为2的概率,),试探求:
(Ⅰ)的通项公式;
(Ⅱ)的通项公式.
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等;
②约定每次专注度监测中,每名同学完成签到加2分,未完成签到加1分.
请回答如下两个问题:
(1)若某班级共有50名学生,一节课老师会进行三次专注度监测,那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少?
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为(比如:表示累计得分为1分的概率,表示累计得分为2的概率,),试探求:
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐2】已知各项均为正数的数列的前n项和为,且,,
(1)求数列的通项公式;
(2)若对,都有,求实数a的取值范围;
(3)当时,将数列中的部分项按原来的顺序构成数列且证明:存在无数个满足条件的无穷等比数列.
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】给定数列,记该数列前项中的最大项为,即,该数列后项中的最小项为,记,;
(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的,,;
(2)若是数列的前项和,且对任意,有,其中为实数,且,.
(ⅰ)设,证明:数列是等比数列;
(ⅱ)若数列对应的满足对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围.
(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的,,;
(2)若是数列的前项和,且对任意,有,其中为实数,且,.
(ⅰ)设,证明:数列是等比数列;
(ⅱ)若数列对应的满足对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围.
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【推荐2】数列满足.
(1)令,求证:是等比数列;
(2)令,的前n项和为,求证:.
(1)令,求证:是等比数列;
(2)令,的前n项和为,求证:.
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解答题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知Sn是数列{an}的前n项和,且an=Sn-1+2(n≥2),a1=2.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整数k,使得
对于任意的正整数n,有Tn>恒成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整数k,使得
对于任意的正整数n,有Tn>恒成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】若对于数列{an}中的任意两项ai,aj(i>j),在{an}中都存在一项am,使得am=,则称数列{an}为“X数列”,若对于数列{an}中的任意一项an(n≥3),在{an}中都存在两项ak,al(k>l),使得an=,则称数列{an}为“Y数列”.
(1)若数列{an}为首项为1公差也为1的等差数列,判断数列{an}是否为“X数列”,并说明理由;
(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1(n∈N*),求证:数列{an}为“Y数列”;
(3)若数列{an}为各项均为正数的递增数列,且既为“X数列”,又为“Y数列”,求证:a1,a2,a3,a4成等比数列.
(1)若数列{an}为首项为1公差也为1的等差数列,判断数列{an}是否为“X数列”,并说明理由;
(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1(n∈N*),求证:数列{an}为“Y数列”;
(3)若数列{an}为各项均为正数的递增数列,且既为“X数列”,又为“Y数列”,求证:a1,a2,a3,a4成等比数列.
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