【推荐1】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，.
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，过点（为坐标原点）作，求证：为定值.

【推荐2】已知椭圆（）经过点，且其离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点．设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）当时，求的面积的最大值；
（III）以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足，求实数的取值范围．

【推荐3】已知椭圆：（）内切于圆：，焦距为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，分别以，为切点的两条切线交于一点，求的最小值.附：椭圆：上一点处的切线方程为：.

【推荐1】椭圆的长轴长为，焦距为，、分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点.
（1）求椭圆的标准方程和动点的轨迹的方程；
（2）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求△的面积；
（3）设轨迹与轴交于点，不同的两点、在轨迹上，满足，求证：直线恒过轴上的定点.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点均在椭圆上，点在抛物线上，若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标．

【推荐3】已知椭圆（），为其左右焦点，为其上下顶点，已知椭圆过点，且四边形的面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点的直线与椭圆相交于两点，若，当时，求面积的取值范围．

【推荐1】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．

求动圆圆心的轨迹的方程；
过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．

【推荐2】设椭圆的左、右焦点分别是 ，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图，若抛物线 与轴的交点为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；
（2）设， 为抛物线上的一动点，过点 作抛物线的切线交椭圆 于点、两点，求面积的最大值.

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点. 已知椭圆的离心率为，短轴长为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求面积的最大值.