【推荐1】已知数列，若对任意的，，，存在正数使得，则称数列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为.
（1）若数列是等差数列且公差为，前项和记为.
①证明：数列具有守恒性质，并求出其守恒数.
②数列是否具有守恒性质？并说明理由.
（2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质，且，求公比值的集合.

【推荐2】若各项均不为零的数列的前项和为，数列的前项和为，且，.
（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，是否存在正整数，使得对于恒成立.若存在，求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设表示向量与间的夹角，若，，求；
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知数列满足：，且.记集合.
(1)若，写出集合的所有元素；
(2)若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合的元素个数的最大值.

【推荐2】若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②若对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．

(1)已知，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．

【推荐3】数列分别满足：，其中，其中，设数列前n项和分别为.
（1）若数列为递增数列，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：存在唯一的正整数k（），使得，则称为“k坠点数列”
（Ⅰ）若数列为“6坠点数列"，求；
（Ⅱ）若数列为“5坠点数列”，是否存在“p坠点数列”，使得，若存在，求正整数m的最大值；若不存在，说明理由.

【推荐1】在无穷数列中，，对于任意，都有，，设，记使得成立的的最大值为．
(1)设数列为，，，，，写出，，的值．
(2)若为等比数列，且，求的值．
(3)若为等差数列，求出所有可能的数列

【推荐2】在数列中，，且对任意，都有．
（1）计算，，，由此推测的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若（），求无穷数列的前项之和与的最大项．

【推荐3】若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.
(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
(2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.

【推荐1】已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的通项公式.

【推荐2】已知正项数列的前项和为，且.
（1）计算、、，猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明数列的通项公式；
（3）证明不等式对任意恒成立.

【推荐3】对于正项数列，定义为数列的“匀称”值.
(1)若当数列的“匀称”值，求数列的通项公式；
(2)若当数列的“匀称”值，设，求数列的前项和及的最小值.