1 . 综合与探究
如图，抛物线与轴相交于，两点，且经过点，点为抛物线与轴的交点．
   
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点为抛物线图象上的一点，，求点的坐标；
(3)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．

2 . 如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E.

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线上的动点，连接，，当四边形面积取最大值时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

3 . 如图①，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EGy轴交BC于点G，求△EFG面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0）、B（4，5）两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段EF的最大值；
(3)抛物线与x轴的另一个交点为点C，在抛物线上，x轴上方是否存在一个动点P，使得S_△ACP=S_△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，抛物线经过、两点，点是线段上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值；
(3)抛物线与轴的另一个交点为点，在抛物线上是否存在一个动点，使得 ？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AC，BC，抛物线上是否存在一点E，使得S_△ABE＝S_△ABC？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，点为抛物线与y轴的交点．

（1）求b和c的值．
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使最短，请求出点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在一点Q，使的面积等于的面积的4倍？若存在，求出点Q所有的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线的解析式为．

（1）求直线的解析式和抛物线的解析式；
（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式和的最大值，并指出的取值范围．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax²+bx﹣3交于A、B点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A，B重合）．过点P作x轴的垂线交直线AB于点C．作PD⊥AB于点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，若这两个三角形的面积之比为2：3，求出m的值．

10 . 如图，已知抛物线与直线的一个交点在轴上、另一交点为点，直线与轴交于点，抛物线的对称轴为直线．交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上、之间的一点，连接、，当面积最小时，求点的坐标．