1 . 如图，将反比例函数的图像绕着坐标原点顺时针旋转，旋转后的图像与轴交于，若，则______．
   

2 . 已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度．
   
(1)如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围；
(3)在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围．

5 . 某校数学兴趣小组对图形的旋转问题进行了深入探究．
专题探究：已知中，，，点M是线段上的一点，N是线段上的点，，交于点Q，将线段绕点M顺时针旋转度，得到线段，连接．
   
(1)如图1，当时，直接写出线段与的数量关系______；
(2)如图2，当时，判断线段与的数量关系，并给出证明；
(3)变式应用：如图3，在中，，，，M是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段的最小值．

6 . 如图，在中，边绕点B顺时针旋转（）得到线段，边绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是的中点．
   
(1)以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接．
①依题意补全图形，并证明；
②求证：；
(2)若，且于H，直接写出用等式表示的与的数量关系．

7 . 如图，在菱形中，，．将菱形绕点A顺时针旋转，旋转角为，得到菱形，与，分别交于点I，J，与交于点H，与交于点K，连接．
       
(1)用含的代数式表示；
(2)求证：平分；
(3)在从到的变化过程中，
①的周长是否变化？若不变，请求出的周长；若变化，请说明理由．
②直接写出点K的运动路径长．

9 . 如图，已知直线交直线l分别于点A，B，，，平分交于点C，过点B作于点D．将绕点C按顺时针方向以每秒2度的速度旋转得到，同时绕点A按逆时针方向以每秒4度的速度旋转得到，旋转时间为t秒，当时首次落在的延长线上时，两个三角形都停止转动．

(1)比较大小： __________．（填“>”或“<”或“＝”）
(2)若直线l平分时，求的度数．
(3)在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得与的某一边平行？若存在，求旋转时间t的值；若不存在，请说明理由．

10 . 如图①，已知线段，B，O是线段的三等分点，以O为圆心，长为半径在线段的上方作半圆O，以为边在的上方作正方形，将正方形沿所在直线水平向右移动．
   
(1)如图②，连接，当与半圆O相切时，设切点为D，求的长（结果保留）；
(2)如图②，在平移的过程中，设与半圆O交于点M，连接，当时，求的长；
(3)如图③，点G是半圆O上的一点，且到的距离为1，当点B到达点C后，正方形立即绕着点C顺时针旋转，当边旋转时停止，若正方形向右平移的速度为每秒2个单位长度，绕点C旋转的速度为每秒，求点G在正方形内（含边界）的时长．