1 . 阅读与思考：
问题背景：在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，若点C是AB的中点，则点C表示的数是．
【尝试应用】（1）如图，已知，，，．设线段的中点为M，则M的坐标可以这样计算：M的横坐标等于，M的纵坐标等于，即，设的中点为N，则N的横坐标等于，N的纵坐标等于，即，分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______．

   

【探究发现】（2）①再结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______．
②若点，，用我们发现的结论可以直接得到线段PQ的中点坐标为__________．
【拓展探索】（3）已知两点，，直接写出线段EF的三等分点的坐标．

5 . 问题提出
如图1，点是等腰底边上一点， 点， 在同侧，且，，取的中点， 连接并延长，交于点 ，探究与的数量关系．

   

问题探究：
（1） 先将问题特殊化， 如图，当时，直接写出与的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图1，证明（1）中的结论是否仍然成立．
问题拓展：
（3）如图， 不是等腰三角形， 点是边上的点， 连接， ， 已知于，， 且 ，直接写出 的值．

6 . 综合与实践
问题背景：
小明在研究直角三角板时，发现含有的直角三角板具有一些特殊性质，于是他做出了如下探究．
初步发现：
如图①，在中，，，作的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则______，线段，，的数量关系是________________；

深入探究：
事实上，在含的直角三角形中，两个锐角恰好是2倍关系，而对于任意一个三角形，若有两个角存在2倍关系，这样的三角形还能具有上面发现的结论吗？带着这个疑问，小明又研究了下面一个三角形，请结合小明的发现，一起探究一下吧．
如图②，在中，，，，作交于点D．

（1）求证：；
（2）求的面积；
拓展应用：
像这样的三角形，我们不妨称之为“倍半角三角形”．如图③，在菱形中，，，是对角线，点E，F分别在，上，且．

（3）若，，用含x的代数式表示y；

7 . 综合与实践

性质探究：如图（1），在等腰三角形中，则底边与腰的长度之比为，则．

理解运用：

（1）若等腰三角形底边与腰的比为，周长为，则它的面积为________；

（2）如图（2），在四边形中，．在边，上分别取中点，，连接，若，，求的度数．

迁移拓展：

（3）如图（3），点将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位，较长线段的长为，利用定义即可求出黄金比．

进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比，②腰与底的比是黄金比，满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为，请你利用所学知识，选择其中一种画出图形，求的值．