名校
1 . 计算:
(1)
(2)解方程组
(3)先化简,再求值,,其中
(4)a、b、c是的三边,求的值
(1)
(2)解方程组
(3)先化简,再求值,,其中
(4)a、b、c是的三边,求的值
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2 . (阅读材料)把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用.
请根据上述材料解决下列问题:
(1)填空
①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式:______;
②用配方法因式分解:______;
③当______时,代数式的最小值为______.
(2)已知、、是的三边,且满足,判断此三角形的形状,并说明理由.
(3)若,,试比较、的大小,并说明理由.
例如:①用配方法因式分解:. 解:原式 . | ②求的最小值. 解:原式 . 由于,所以, 即的最小值为2. |
(1)填空
①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式:______;
②用配方法因式分解:______;
③当______时,代数式的最小值为______.
(2)已知、、是的三边,且满足,判断此三角形的形状,并说明理由.
(3)若,,试比较、的大小,并说明理由.
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3 . 【阅读材料】
配方法是数学中一种重要的思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题.
①用配方法分解因式
例1:分解因式.
解:.
②用配方法求值
例2:已知求的值.
解:原方程可化为,,即,
,,,,.
③用配方法确定范围
例3:,利用配方法求M的最小值.
解:
,当时,M有最小值.
请根据上述材料解决下列问题:
(1)用配方法分解因式;
(2)已知的三边长a,b,c,且满足,求边c的取值范围;
(3)已知,.试比较P,Q的大小.
配方法是数学中一种重要的思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题.
①用配方法分解因式
例1:分解因式.
解:.
②用配方法求值
例2:已知求的值.
解:原方程可化为,,即,
,,,,.
③用配方法确定范围
例3:,利用配方法求M的最小值.
解:
,当时,M有最小值.
请根据上述材料解决下列问题:
(1)用配方法分解因式;
(2)已知的三边长a,b,c,且满足,求边c的取值范围;
(3)已知,.试比较P,Q的大小.
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4 . 将代数式通过配方得到完全平方式,再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题,这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值,求的最小值.
解:,
因为不论a取何值,总是非负数,即,所以,
所以当时,有最小值.
根据上述材料,解答下列问题.
(1)求式子的最大值.
(2)若,比较M、N的大小.(写出比较过程)
(3)若等腰三角形的两边a,b满足,求这个三角形的周长.
解:,
因为不论a取何值,总是非负数,即,所以,
所以当时,有最小值.
根据上述材料,解答下列问题.
(1)求式子的最大值.
(2)若,比较M、N的大小.(写出比较过程)
(3)若等腰三角形的两边a,b满足,求这个三角形的周长.
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5 . 如图,已知一次函数的图象与y轴交于点A,一次函数的图象与y轴交于点B,且与x轴以及一次函数的图象分别交于点C、D,点D的坐标为.
(1)关于x、y的方程组的解为 ;
(2)关于x的不等式的解集为 ;
(3)求四边形的面积;
(4)在x轴上是否存在点E,使得以点C,D,E为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)关于x、y的方程组的解为 ;
(2)关于x的不等式的解集为 ;
(3)求四边形的面积;
(4)在x轴上是否存在点E,使得以点C,D,E为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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6 . 数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
探究一:求不等式|x﹣1|<2的解集
(1)探究|x﹣1|的几何意义
如图①,在以O为原点的数轴上,设点A′对应的数是x﹣1,有绝对值的定义可知,点A′与点O的距离为
|x﹣1|,可记为A′O=|x﹣1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB,此时点A对应的数是x,点B对应的数是1.因为AB=A′O,所以AB=|x﹣1|,因此,|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.
(2)求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3,﹣1.
(3)求不等式|x﹣1|<2的解集
因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围.请写出这个解集:_________________________________.
探究二:探究的几何意义
(1)探究的几何意义
如图③,在直角坐标系中,设点M的坐标为(x,y),过M作MP⊥x轴于P,作MQ⊥y轴于Q,则P点坐标为(x,0),Q点坐标为(0,y),OP=|x|,OQ=|y|,在Rt△OPM中,PM=OQ=|y|,则,因此,的几何意义可以理解为点M(x,y)与点O(0,0)之间的距离MO.
(2)探究的几何意义
如图④,在直角坐标系中,设点A′的坐标为(x﹣1,y﹣5),由探究二(1)可知,,将线段A′O先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段AB,此时点A的坐标为(x,y),点B的坐标为(1,5),因为AB=A′O,所以,因此的几何意义可以理解为点A(x,y)与点B(1,5)之间的距离AB.
(3)探究的几何意义,根据探究二(2)所得的结论,请写出的几何意义可以理解为:________________.
(4)的几何意义可以理解为:________________________________.
探究一:求不等式|x﹣1|<2的解集
(1)探究|x﹣1|的几何意义
如图①,在以O为原点的数轴上,设点A′对应的数是x﹣1,有绝对值的定义可知,点A′与点O的距离为
|x﹣1|,可记为A′O=|x﹣1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB,此时点A对应的数是x,点B对应的数是1.因为AB=A′O,所以AB=|x﹣1|,因此,|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.
(2)求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3,﹣1.
(3)求不等式|x﹣1|<2的解集
因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围.请写出这个解集:_________________________________.
探究二:探究的几何意义
(1)探究的几何意义
如图③,在直角坐标系中,设点M的坐标为(x,y),过M作MP⊥x轴于P,作MQ⊥y轴于Q,则P点坐标为(x,0),Q点坐标为(0,y),OP=|x|,OQ=|y|,在Rt△OPM中,PM=OQ=|y|,则,因此,的几何意义可以理解为点M(x,y)与点O(0,0)之间的距离MO.
(2)探究的几何意义
如图④,在直角坐标系中,设点A′的坐标为(x﹣1,y﹣5),由探究二(1)可知,,将线段A′O先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段AB,此时点A的坐标为(x,y),点B的坐标为(1,5),因为AB=A′O,所以,因此的几何意义可以理解为点A(x,y)与点B(1,5)之间的距离AB.
(3)探究的几何意义,根据探究二(2)所得的结论,请写出的几何意义可以理解为:________________.
(4)的几何意义可以理解为:________________________________.
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7 . 综合与探究
如图,直角的顶点B与数轴的原点重合,,直角边在数轴上,,以点B为圆心,的长为半径画弧交数轴于点D,设点D表示的数为m,将点D沿着数轴向右移动3个单位长度到达点P,设点P表示的数为n.
(1)分别求m,n的值.
(2)设,小明设计了一个计算程序如图所示,根据计算程序,求当时,该计算程序输出的结果.(要求先化简,再求值)
(3)设(1)中点D表示的数m的整数部分为b,点P表示的数n的整数部分为c,点R从点D出发沿着数轴向右移动,速度为每秒个单位长度,点S同时从点P出发沿着数轴向左移动,速度为每秒个单位长度,当点R移动的时间t为多少秒时,点R与点S之间的距离为1个单位长度?并求出此时点R在数轴上所表示的数(结果含根号).
如图,直角的顶点B与数轴的原点重合,,直角边在数轴上,,以点B为圆心,的长为半径画弧交数轴于点D,设点D表示的数为m,将点D沿着数轴向右移动3个单位长度到达点P,设点P表示的数为n.
(1)分别求m,n的值.
(2)设,小明设计了一个计算程序如图所示,根据计算程序,求当时,该计算程序输出的结果.(要求先化简,再求值)
(3)设(1)中点D表示的数m的整数部分为b,点P表示的数n的整数部分为c,点R从点D出发沿着数轴向右移动,速度为每秒个单位长度,点S同时从点P出发沿着数轴向左移动,速度为每秒个单位长度,当点R移动的时间t为多少秒时,点R与点S之间的距离为1个单位长度?并求出此时点R在数轴上所表示的数(结果含根号).
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8 . 阅读材料:各类方程的解法:求解一元一次方程时,根据等式的基本性质,把方程转化为的形式;求解二元一次方程组时,把它转化为一元一次方程求解;类似的,解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组求解;解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程求解;解分式方程,把它转化为整式方程求解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验。各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知,把复杂转化为简单。
运用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程,例如,一元三次方程,可以通过因式分解把它转化为:,解方程,可得方程的解为,
(1)问题:方程的解是: , .
(2)拓展:解方程组
(3)应用:如图,已知矩形草坪的长,宽,点P在上(),小明把一根长为的绳子一端固定在点B,把绳长拉直并固定在上的一点P处,再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点C处,求的长.
运用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程,例如,一元三次方程,可以通过因式分解把它转化为:,解方程,可得方程的解为,
(1)问题:方程的解是: , .
(2)拓展:解方程组
(3)应用:如图,已知矩形草坪的长,宽,点P在上(),小明把一根长为的绳子一端固定在点B,把绳长拉直并固定在上的一点P处,再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点C处,求的长.
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2023-02-19更新
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227次组卷
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6卷引用:湖南省永州市道县2022-2023学年九年级上学期期末质量监测数学试题(A卷)
湖南省永州市道县2022-2023学年九年级上学期期末质量监测数学试题(A卷)(已下线)专题2.9 一元二次方程章末十大题型总结(培优篇)-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(北师大版)(已下线)专题22.9 一元二次方程章末十大题型总结(培优篇)-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(华东师大版)(已下线)专题1.9 一元二次方程章末十大题型总结(培优篇)-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(苏科版)(已下线)专题21.9 一元二次方程章末十大题型总结(培优篇)-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)(已下线)专题03 一元二次方程及其解法(九种考法)-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编(湖南专用)
9 . 阅读理解以下文字:
我们知道,多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式.通过因式分解,我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积,来达到降次化简的目的.这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题.
例如:方程就可以这样来解:
解:原方程可化为
所以或者.
解方程,得
所以解为,.
根据你的理解,结合所学知识,解决以下问题:
(1)解方程:;
(2)解方程:;
(3)已知的三边长为,,,请你判断代数式的值的符号.
我们知道,多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式.通过因式分解,我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积,来达到降次化简的目的.这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题.
例如:方程就可以这样来解:
解:原方程可化为
所以或者.
解方程,得
所以解为,.
根据你的理解,结合所学知识,解决以下问题:
(1)解方程:;
(2)解方程:;
(3)已知的三边长为,,,请你判断代数式的值的符号.
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2020-09-26更新
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394次组卷
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4卷引用:江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年七年级下学期期中数学试题
江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年七年级下学期期中数学试题(已下线)专题4.4 因式分解-平方差公式(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)河北省沧州市献县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题(已下线)专题4.2 因式分解(十字相乘法与分组分解法)-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义(北师大版)
21-22九年级·江苏·假期作业
10 . 我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式,这种解题方法叫做配方法,配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题.
(1)已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数,并且满足a2+2b2﹣6a﹣4b+11=0,求三角形ABC的周长,你能利用配方法解决这个问题吗?
(2)某商品现在每件盈利10元,每天可卖出30件.市场调查发现:如调整价格,每涨价1元,每天要少卖1件,当每件商品涨价多少元时,每天的利润最大?
(1)已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数,并且满足a2+2b2﹣6a﹣4b+11=0,求三角形ABC的周长,你能利用配方法解决这个问题吗?
(2)某商品现在每件盈利10元,每天可卖出30件.市场调查发现:如调整价格,每涨价1元,每天要少卖1件,当每件商品涨价多少元时,每天的利润最大?
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