2024七年级下·全国·专题练习
1 . 如图，对面积为
的
逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长
、
、
至点
、
、
，使得
，
，
，顺次连接、、，得到
，记其面积为
；
第二次操作，分别延长
、
、
至点
、
、
，使得
，
，
顺次连接、、，得到
，记其面积为
；
…；
按此规律继续下去，可得到
，则其面积
__________ ．
的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长
、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长
、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；
按此规律继续下去，可得到
，则其面积
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2 . 如图，在平面直角坐标系中，将等边
绕点
旋转180°得到
，再将绕点
旋转
得到
，再将绕点旋转得到
，按此规律进行下去，若点
的坐标为
，则点
的坐标为_________ ．
绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为
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3 . 如图，
为射线
上一点，
为射线
上一点，
，
．以为边在其右侧作菱形
，且
与射线交于点
得
；延长
交射线于点
，以
为边在其右侧作菱形
，且
，
与射线交于点
，得
；延长
交射线于点
，以
为边在其右侧作菱形
，且
，
与射线交于点
，得
；…，按此规律进行下去，则
的面积为_______ ．
为射线上一点，为射线上一点，，．以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且，与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且，与射线交于点，得；…，按此规律进行下去，则的面积为
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4 . 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：
（1）如图1，在平面直角坐标系
中，已知四边形
是垂等四边形，点的坐标为
，点
的坐标为
，求点
的坐标；
【规律初探】
（2）如图2，正方形
的边长为
，点
在边上，点
在边上，点
在边
上，点
在边
上，若四边形满足
，请直接写出四边形
面积S的取值范围；
【综合探究】
（3）如图3，已知抛物线
与
轴交于
、
两点，点在点的左侧，
、
两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且
．设点的横坐标为
，点的横坐标为
，且
，求m的值．
（1）如图1，在平面直角坐标系
中，已知四边形是垂等四边形，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；【规律初探】
（2）如图2，正方形
的边长为，点在边上，点在边上，点在边上，点在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积S的取值范围；【综合探究】
（3）如图3，已知抛物线
与轴交于、两点，点在点的左侧，、两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且．设点的横坐标为，点的横坐标为，且，求m的值．
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5 . 如图，在平面直角坐标系中，，，
，
，均为等腰直角三角形，且
，点，，
，，
和点，，
，，
分别在正比例函数
和
的图象上，且点，，，，的横坐标分别为1，2，3，，，线段，
，
，，
均与
轴平行，按此规律，的顶点
的坐标是______ ．
，，，，均为等腰直角三角形，且，点，，，，和点，，，，分别在正比例函数和的图象上，且点，，，，的横坐标分别为1，2，3，，，线段，，，，均与轴平行，按此规律，的顶点的坐标是
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6 . 如图是正方形、正五边形、正六边形．
，则
______
，
______，
______．
(2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为
，请用含的式子表示
______（其中为不小于4的整数）．
(3)若
，求相应的正多边形的边数．
，则______，______，______．(2)按此规律，记正
边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）．(3)若
，求相应的正多边形的边数．
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7 . 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为
，以点
为圆心，以
长为半径画弧，交直线于点，过点作
轴，交直线
于点，以点为圆心，以
长为半径画弧，交直线于点；过点作
轴，交直线于点，以点为圆心，以
长为半径画弧，交直线于点；过点作
轴，交直线于点
，以点为圆心，以
长为半径画弧，交直线于点
，…，按照如此规律进行下去，点
的坐标为__________ ．
．
的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，…，按照如此规律进行下去，点的坐标为．
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名校
8 . 如图，是边长为2的等边三角形，取边的中点E，作
，
，得到四边形
，它的面积记作；取
边的中点
，作
，
，得到四边形
，它的面积记作，…，照此规律作不去，则
的值为（ ）
是边长为2的等边三角形，取边的中点E，作，，得到四边形，它的面积记作；取边的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，…，照此规律作不去，则的值为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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9 . 如图，在菱形中，边长为1，
．顺次连接菱形各边中点，可得四边形
；顺次连接四边形各边中点，可得四边形
，顺次连接四边形各边中点，可得四边形
；…；按此规律继续下去．四边形
的面积是_________ ．
中，边长为1，．顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形，顺次连接四边形各边中点，可得四边形；…；按此规律继续下去．四边形的面积是
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10 . 综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使
，将点E绕点C逆时针旋转
得到点
，射线
，
交于点F．
特例研究：
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线
中点O处时，点F与点B重合，此时四边形
的形状为正方形．
探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明；
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接
，
，
，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，已知
，
，直接写出
的长度．
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使
，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F．特例研究：
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线
中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形．探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要
，四边形的形状都是正方形，请证明；（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取
中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；拓展应用：
（3）在（2）的条件下，已知
，，直接写出的长度．
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