1 . 【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点，取边上任意一点F（不与重合），连接，将沿折叠，点的对应点为．然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点，连接．探究点在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系．

【探究与证明】
（1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论．
（2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点，交于点，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明．
【应用拓展】
（3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为，若给出和的长，则可以求出的长．

3 . 问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；

   

(1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______；
(2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明：
(3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值．

4 . 【综合与实践】
在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．
【操作探究】
“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿翻折到的位置；
第3步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．
证明过程如下：连接，
∵正方形沿折叠，
∴①            ，
又∵，
∴，
∴．
由题意可知E是的中点，设，则，
在中，可列方程：②       ，(方程不要求化简)
解得：③          ，即H是边的三等分点．
“励志”小组对矩形纸片进行了如下操作：
第1步：如图2所示，先将矩形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将矩形纸片沿对角线翻折，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点G；
第3步：过点G折叠矩形纸片，使折痕．

【过程思考】
（1）“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是①：            ，②：            ，③：            ；
（2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长．

5 . 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

   

（）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____
类比探究：
（）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断；
拓展应用：
（）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案

6 . 已知，点E在上，点F在上，点G在射线上的一点．

(1)【基础问题】
如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）
证明：过点G作直线，
∵，
∴　　．
∵，
∴　　．
∵，
∴　　．
∴．
(2)【类比探究】
如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)【应用拓展】
如图3，点E与点A重合，平分，且，，求的度数．（本题的解答过程无需注明理由）

7 . 【感知】（1）如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为      度；（直接写出答案）
【探究】（2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，在备用图中画出图形，直接写出结论
①点在线段上；
②点在射线上．
【拓展】（4）我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题．已知：如图3，三角形，说明．

8 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，作了如下探究，在中，，点D为直线上一动点，（点D与不B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接．

(1)观察猜想
如图①当点D在线段上时，①与的位置关系为______；
②之间的数量关系为______（将结论直接写在横线上）．
(2)数学思考
如图②，当点D在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出结论，若不成立，请写出正确的结论再予以证明；
(3)拓展延伸
如图③，当点D在线段的延长线上时，延长交于点G，连接，若已知，请求出的长．

9 . 综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

   

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，
(2)迁移探究
爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点在上时，　　；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

10 . 已知点O 是线段的中点，直线l与线段交于点 P（点 P 与点 A， B 不重合），分别过点A，点B作直线l的垂线，垂足分别为点 C，点 D．

(1)【猜想验证】如图 1，当点 P 与点 O 重合时，线段 和 的数量关系是           ；
(2)【探究证明】如图2，当点 P是线段上的任意一点时，判断 和 的数量关系并说明理由；
(3)【拓展延伸】若，，当 为等腰三角形时，请直接写出线段 的长．