4 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察猜想】
（）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．
（）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；
【类比探究】
（）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
【拓展延伸】
（）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．

6 . 综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究．

(1)问题发现
如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空:
①的值为     ；
②的度数为     ．
(2)类比探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，．
①求的度数；
②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸
在(2)的条件下，若，，求四边形的面积．

8 . 如图，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是____________，位置关系是____________；
(2)【探究】把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是____________．

9 . 课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点C是外一点，连接，，求的度数．

   

（1）阅读并补充完成下面推理过程．
解：过点C作，
所以_________（__________），
_________（___________）．
又因为，
所以．
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知，试探究，，之间有何等量关系，并说明理由．提示：过点P作．

   

深化拓展：
（3）已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．

   

①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为________°．
②如图4，点B在点A的右侧，且．若，则的度数为________°．（用含n的式子表示）

10 . 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．

(1)初步感知
如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________；
(2)迁移探究
如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度．
(3)拓展应用
如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为___________．