1 . 如图1，在中，，,点D，E分别在边，，连接，，点F是线段中点,连接交于点H．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ______，位置关系是_____；
(2)探究证明：把处点C逆时针旋转α．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由
(3)拓展延伸∶把绕点C旋转，当点D旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？

2 . 已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，直线AE与直线BF交于点H

（1）观查猜想

如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，线段AE和BF的数量关系是　 　；∠AHB＝　 　．

（2）探究证明

如图2，当四边形ABCD和FFCG均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，若BC＝9，FC＝6，将矩形EFCG绕点C旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F三点共线时，请直接写出点B到直线AE的距离．

3 . 综合与探究如图，在正方形中，点在边所在的直线上运动但不与点重合，点在线段．上运动，过点的直线，分别交于点．
观察探究：（1）如图1，当点在边上时，判断并说明与的数量关系；
探究发现：（2）勤奋小组在图1的基础上得到图2，点为中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线与交于点，连接，此时， ，请利用图2证明；
探究拓展：（3）如图3，缜密小组在勤奋小组的启发下，当点在点右侧时，如果（2）中的其他条件不变，直线分别交直线于点，他们发现线段与之间存在数量关系，线段与之间也存在数量关系，请你直接写出．
   

4 . 【问题提出】一个棱长为（为正整数，且）的正方体木块,在它的表面涂上颜色,然后切成棱长为的小正方体木块,没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的有多少块？

【问题探究】
我们先从特殊的情况入手，
（1）当时,如图1,
没有涂色的:把这个正方体的表层“剥去”剩下的正方体,有（个）小正方体；
一面涂色的:在面上,每个面上有1个,共有6个；
两面涂色的:在棱上,每个棱上有1个,共有12个；
三面涂色的:在顶点处,每个顶点处有1个,共有8个.
（2）当时,如图2.
没有涂色的:把这个正方体的表层“剥去”剩下的正方体,有（个）小正方体；
一面涂色的:在面上,每个面上有4个,6个面,共有24个；
两面涂色的:在棱上,每个棱上有2个,共有24个；
三面涂色的:在顶点处,每个顶点处有1个,共有8个.
……
【问题解决】
一个棱长为（为正整数,且）的正方体木块,没有涂色的:把这个正方体的表面“剥去”剩下的正方体,有_________个小正方体；一面涂色的:在正面上,共有_________个；两面涂色的:在棱上，共有_________个；三面涂色的:在顶点处,共有_________个.
【问题应用】
一个大正方体,在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长为的小正方体发现有两面涂色的小正方体共96个,请你求出这个大正方体的体积.
【问题拓展】
把一个长、宽、高的长方体表面涂上红漆,然后把它切成棱长为的小正方体，没有涂色的有几块,一面涂色的有几块,两面涂色的有几块,三面涂色的有几块？

5 . 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
   
（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是     ；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂．则S₁与S₂的数量关系是     ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S_△DCF=S_△BDC,请直接写出相应的BF的长

6 . 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．
   

7 . 探究归纳题：
（1）试验分析：如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作_______条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作_______条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作______条．通过以上分析和总结，图1共有______条直线．

（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_________条直线；图3共有________条直线；

（3）探索归纳：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有____条直线．（用含n的式子表示）
（4）解决问题：中职篮（CBA）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？

8 . （1）【知识呈现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形；

（2）【知识应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，则的长为     ；
   
（3）【知识拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，则四边形的面积为     ．
   

9 . 基本图形：在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．
探索：（1）连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）连接DE，如图②，试探索线段CD，BD，AD之间满足的等量关系，并证明结论；
拓展：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=3，CD=1，则AD的长为____________．(直接写出答案，不需要说明理由．)

10 . 问题背景：（1）如图①，已知中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E，易证：______+______．

（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
（3）实际应用：如图③，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．