1 . 小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合）， 连接，则， 又∵， ∴___________， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∵点B，D在点A，C，E所确定的上， ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．

【反思归纳】
（1）上述探究过程中的横线上填的内容是________；
【拓展延伸】
（2）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转得，连接交于点D，连接．小东发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②当为直角三角形，且时，直接写出的长．

3 . 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．

【证明体验】
如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长．

5 . 【问题情境】已知，，平分交于点G．

【问题探究】（1）如图1，，，．试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，试说明．

6 . 问题发现：
如图1，在中，，，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：

（1）①的度数是______；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是______；
拓展探究：
（2）如图2，在中，，，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，在中，，，，若点A满足，，求线段AD的长度．

7 . 综合与实践：
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1，是等腰直角三角形，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：的面积为        ；
拓展延伸：（2）如图2，若为任意直角三角形，．将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．猜想三条线段、、的数量关系，并证明．
（3）如图3，在中，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接．若点D是的边的高线上的一动点，连接、，则的最小值是        ．

8 . 折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线．
【知识初探】

如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度．

【类比再探】
如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由．
小官同学：猜想．
理由如下：沿折叠，，
沿折叠，
                        ，
__________，
__________．
【拓展探究】
如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由．

9 . 【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．易知______；
【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．
则______；
【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，．
（1）求的值：
（2）延长交于点，交于点．若，，求的长．

10 . 综合与实践，阅读理解：
学习三角形内角和定理，给我们认识到：任何一个三角形的三个内角之和都等于，现在依靠同学们通过探索归纳，解决以下问题：
【问题引入】
（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中的虚线剪去，等于（       ）
A．       B．       C．       D．
（2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则等于________度；
【类比探究】
（3）如图2，根据（1）与（2）的解答和思考过程，请你归纳猜想与的数量关系是________（直接写出结果）；
【知识拓展】
（4）如图3，若没有把剪掉，而是把它折成如图3所示的形状，试探究与的数量关系，并说明理由．