1 . 【问题情境】在数学活动课上,同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和,其中,,将它们按如图1所示的方式放置,点E,G分别落在,边上时,点E,G恰好为边,的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转,旋转角为,连接与.【观察发现】
(1)如图2所示,当时,小组成员发现与存在的数量关系为_________;位置关系为_________;
【探索猜想】
(2)如图3所示,当时,(1)中发现的结论是否仍然成立?请说明理由;
【拓展延伸】
(3)在矩形的旋转过程中,交于点P,交于点O,连接,,是否为定值;如果是,请直接写出此定值,如果不是,请你说明理由.
(1)如图2所示,当时,小组成员发现与存在的数量关系为_________;位置关系为_________;
【探索猜想】
(2)如图3所示,当时,(1)中发现的结论是否仍然成立?请说明理由;
【拓展延伸】
(3)在矩形的旋转过程中,交于点P,交于点O,连接,,是否为定值;如果是,请直接写出此定值,如果不是,请你说明理由.
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2 . 【问题背景】如图,正方形的对角线相交于点O,点O又是正方形的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,无论正方形绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的,九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下:正方形的对角线相交于点O,点P落在线段上,(k为常数).
(1)如图1,将的直角顶点P与点O重合,两直角边分别与边,相交于点M,N.
①填空:______;
②求证:.
【类比探究】
(2)如图2,将图1中的沿方向平移,判断与的数量关系(用含k的式子表示),并说明理由.
【拓展运用】
(3)如图3,点N在边上,,延长交边于点E,若,求k的值.
【特例证明】
(1)如图1,将的直角顶点P与点O重合,两直角边分别与边,相交于点M,N.
①填空:______;
②求证:.
【类比探究】
(2)如图2,将图1中的沿方向平移,判断与的数量关系(用含k的式子表示),并说明理由.
【拓展运用】
(3)如图3,点N在边上,,延长交边于点E,若,求k的值.
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3 . 一块材料的形状是锐角三角形,下面分别对这块材料进行课题探究:
课本再现:
(1)在图1中,若边,高,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在,上,这个正方形零件的边长是多少?
(2)如图2,若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件,请你探究高与边的数量关系,并说明理由.
拓展延伸
(3)①如图3,若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件,则的值为_______(直接写出结果);
②如图4,若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件,求的值.
课本再现:
(1)在图1中,若边,高,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在,上,这个正方形零件的边长是多少?
类比探究
(2)如图2,若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件,请你探究高与边的数量关系,并说明理由.
拓展延伸
(3)①如图3,若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件,则的值为_______(直接写出结果);
②如图4,若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件,求的值.
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4 . 【探究发现】如图,矩形所在平面内有一点.连接.
(1)①当点与矩形对角线交点重合时(如图1),显然有;
②当点落在边上时(如图2),且,则______;通过计算,发现并猜想的关系:______.
(2)当点在矩形内部(如图3),是否仍存在你所猜想的结论?
【直接运用】如图4,矩形外有一点,且.①.求证:;
②.若,则______.
【拓展应用】如图5,,点在边上运动,若,求的值.
(1)①当点与矩形对角线交点重合时(如图1),显然有;
②当点落在边上时(如图2),且,则______;通过计算,发现并猜想的关系:______.
(2)当点在矩形内部(如图3),是否仍存在你所猜想的结论?
【直接运用】如图4,矩形外有一点,且.①.求证:;
②.若,则______.
【拓展应用】如图5,,点在边上运动,若,求的值.
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名校
5 . 某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块直角三角板的直角顶点绕矩形()的对角线的交点旋转(),图中的分别为直角三角形的直角边与矩形的边的交点.
解决问题:()该学习小组成员意外的发现图(三角板一直角边与重合)中,此时发现这三条线段之间满足以下的数量关系:;在图中(三角板一边与重合),,请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由.类比探究:()在图中(三角板一边与重合),直接写出这三条线段之间所满足的数量关系 .
在图中,试探究这四条线段之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由.
拓展延伸:()将矩形改为边长为的正方形,直角三角板的直角顶点绕点旋转到图,两直角边与,分别交于,直接写出这四条线段之间所满足的数量关系.(不需要证明)
解决问题:()该学习小组成员意外的发现图(三角板一直角边与重合)中,此时发现这三条线段之间满足以下的数量关系:;在图中(三角板一边与重合),,请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由.类比探究:()在图中(三角板一边与重合),直接写出这三条线段之间所满足的数量关系 .
在图中,试探究这四条线段之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由.
拓展延伸:()将矩形改为边长为的正方形,直角三角板的直角顶点绕点旋转到图,两直角边与,分别交于,直接写出这四条线段之间所满足的数量关系.(不需要证明)
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6 . 【综合实践】
【操作体验】
(1)若点的对应点为点,画出旋转后的图形;
【深入探究】
(2)如图2,中,是边上一点(不与重合),猜想三条线段之间的数量关系,并给予证明;
【拓展应用】
(3)如图3,中,是内部的任意一点,连接,求的最小值.
中,是边上任意一点,以点为中心,取旋转角等于,把逆时针旋转,画出旋转后的图形. |
(1)若点的对应点为点,画出旋转后的图形;
【深入探究】
(2)如图2,中,是边上一点(不与重合),猜想三条线段之间的数量关系,并给予证明;
【拓展应用】
(3)如图3,中,是内部的任意一点,连接,求的最小值.
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7 . 课本再现:
(1)如图1, 是的一个外角,写出与,的数量关系
类比探究:
(2)如图2,是与的公共边,,.
①与的数量关系是 ;
②求证
拓展应用:
(3)如图3,点D是正方形内一点,且在以O 为圆心, 为半径的圆弧上,若,,直接写出线段的长.
(1)如图1, 是的一个外角,写出与,的数量关系
类比探究:
(2)如图2,是与的公共边,,.
①与的数量关系是 ;
②求证
拓展应用:
(3)如图3,点D是正方形内一点,且在以O 为圆心, 为半径的圆弧上,若,,直接写出线段的长.
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8 . 【课例改编】
数学课上,张老师根据数学课本习题改编了一个题目:如图,是的高,,若,求的长.
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决:将沿折叠,如图1,则点刚好落在边上的点处.……
(1)结合小明同学的想法,请直接写出:_____.
【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题,得到下列试题,请同学们解答:
(2)如图2,为的外角的平分线,交的延长线于点,则线段有什么数量关系?请写出你的猜想并证明.
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律,请解答:
(3)如图3,在四边形中,平分,求的长.
数学课上,张老师根据数学课本习题改编了一个题目:如图,是的高,,若,求的长.
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决:将沿折叠,如图1,则点刚好落在边上的点处.……
(1)结合小明同学的想法,请直接写出:_____.
【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题,得到下列试题,请同学们解答:
(2)如图2,为的外角的平分线,交的延长线于点,则线段有什么数量关系?请写出你的猜想并证明.
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律,请解答:
(3)如图3,在四边形中,平分,求的长.
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2024-01-27更新
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211次组卷
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2卷引用:江西省赣州市章贡区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
9 . 综合与实践
李老师善于通过合适的主题整合教学内容,帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯.下面是李老师在“相似”主题下设计的问题,请你解答
【问题情境】
在中,是边上一点,,与交于点.
【初步探究】
(1)如图1,若,于点.
①求证.
②求的值.
【拓展延伸】
(2)如图2,是延长线上一点,若已知,求的长
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2024-01-06更新
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195次组卷
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3卷引用:江西省2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
10 . 综合探究:
“在中,、、三边的长分别为、、,求这个三角形的面积”.
小明同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示,这样不需求的高,而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求面积的方法叫做构图法.
(1)直接写出图1中的面积是______;
(2)若的边长分别为、、(,,且),试运用构图法在图2中画出相应的,并求出的面积.
(3)拓展应用:求代数式:的最小值.
“在中,、、三边的长分别为、、,求这个三角形的面积”.
小明同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示,这样不需求的高,而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求面积的方法叫做构图法.
(1)直接写出图1中的面积是______;
(2)若的边长分别为、、(,,且),试运用构图法在图2中画出相应的,并求出的面积.
(3)拓展应用:求代数式:的最小值.
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2023-11-09更新
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217次组卷
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3卷引用:江西省景德镇市乐平市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题